The Daily Riff - BE SMARTER. ABOUT EDUCATION.

In this problem we know the total number of cards (the whole) and the number of 
baseball cards (one part). We are trying to find the missing part (the football cards). 
By looking at the diagram we can see that 110 + ? = 250, so to find the answer we 
should subtract 110 from 250.
 
The usefulness of bar models becomes more apparent as students tackle more 
difficult mathematical concepts. Below is an example of how a bar model can be 
used to solve a challenging problem from the fifth grade Primary Mathematics 
textbook involving fractions, a topic many students struggle with.
 

Meihua spent 1/3 of her money on a book. She spent 3/4 of the remainder on  a pen. If the pen cost $6 more than the book, how much money did she spend  altogether?

Solving a problem of this level of difficulty would normally require a  considerable knowledge of algebra.  It can be solved easily by 5th grade 
students, however, with a bar model.
 

 Let's draw a bar to represent all of Meihua's money. We know that she spent 1/3 of  her money on a book, so we'll divide it into thirds. One part (1/3) represents the  money she spent on the book. The other two parts represent the remainder of her money.

The problem says that she spent 3/4 of the remainder on a pen. We know that 3/4 is  3 out of 4 equal parts, so let's cut each of the yellow sections in half to make 4 equal  parts (the yellow section). Three of these parts represent the money she spent on 
the pen.

If we make all the parts the same size the problem will be easier to solve because if  we can find the value of one unit, all the others will be the same. So let's divide the  part representing the book into two equal parts also.


We now have a bar divided into six equal‐sized units (parts), three representing the 
pen and two representing the book. We want to find the amount she spent on both 
items, which is 5 units.
  
From the diagram we can see that the difference between the pen and the book is  one unit (the 3 pen units - the 2 book units). We know from the problem that this  amount is equal to $6 since the pen costs $6 more than the book. 


Remember that all the units are the same size and thus have the same value. If we 
can find the value of one unit, then we will know the value of all of them. So we can 
use the following method.
 

   1 unit = $6 
   5 units = 5 x $6 = $30 
   Meihua spent $30 altogether.  

Notice that this problem can be solved with simple multiplication; no algebra or 
complex procedures involving fractions required.
 
It takes time to develop model‐drawing skills in students, but it is well worth the 
effort. As children become increasingly proficient at constructing models they gain 
confidence in their problem‐solving abilities. Proficiency in the use of model 
drawing helps students to solve increasingly complex problems as they progress 
through elementary and middle school mathematics and eventually make the 
transition from arithmetic to algebra with greater ease.
 
 Some U.S. mathematics textbooks also incorporate model drawing, but many 
different models are typically introduced in a haphazard and unconnected fashion 
with inadequate development. The result is that the type of model drawing used in 
Singapore is essentially non‐existent in the U.S. and few American students or even 
teachers ever learn this powerful problem‐solving technique.
  
Singapore math textbooks, on the other hand, present and develop a few 
consistently used models in a clear and systematic way.  The result is that students 
become adept at converting abstract word problems into concrete pictures that are 
easily translated into mathematical procedures. A recent study reported that 
Singaporean students are exposed to higher‐level, multi‐step word problems than 
are U.S. students, and proficiency in solving these complex problems is a key factor 
in why they have fared so well on international mathematics assessments.
 
If children are to learn how to solve word problems effectively, teachers need better 
ways to help them understand them. Pictorial models are an important intermediate 
step between the difficult transition of reading a word problem to determining the 
operations and steps necessary to solve it. Singapore's model drawing approach 
helps children to get past the words by visualizing and illustrating word problems 
with simple diagrams. And as children become better and more confident problem 
solvers, they become more interested in mathematics.
 
That's all for now. If you would like more information on solving problems with bar 
models, I have attached a power point presentation that will help you hone your 
model drawing skills. Next time I'll share some tips for schools that are interested in 
using Singapore math.
 
Until then,  
Bill Jackson 
Math Helping Teacher 
Scarsdale Public Schools